3.3 布林代數的基本定理與定律

布林代數是處理邏輯的運算,運算時必然有一些基本規則可循,我們稱之為定理,這些定理都是根據三個邏輯基本運算關係所定出,並不是布林代數還有新的運算因子,初學者只要把握住邏輯的思維方式,以下的幾個定理是不難理解的。

 

3.3-1 基本定理

定理(1) X.0 = 0

說明:AND的運算,在變數條件均為1時結果方為1 ,此定理中的一個變數已經固定為0,所以不管X為1或0其結果必為0。

定理(2) X.1 = X

說明:AND的運算,在變數條件均為1時結果方為1 ,此定理中的一個變數已經固定為1,若X為1則結果為1,若X為0則結果為0,所以X.1 = X。

定理(3) X.X = X

說明:AND的運算,在變數條件均為1時結果方為1 ,若X為1則1.1 = 1,若X為0則0.0 =0,所以X.X = X。

定理(4) X.X’= 0

說明:AND的運算,在變數條件均為1時結果方為1 ,而X與X’總是相反的,亦即1.0 = 0或0.1 =0,所以X.X’= 0。

定理(5) X + 0 = X

說明:OR的運算,在變數條件任何一者為1時結果為1 ,若X為1則1+0 = 1,若X為0則0 + 0 =0,所以X + 0 = X。

定理(6) X + 1 = 1

說明:OR的運算,在變數條件任何一者為1時結果為1 ,此定理中的一個變數已經固定為1,所以X+1 = 1。

定理(7) X + X = X

說明:OR的運算,在變數條件任何一者為1時結果為1 ,若X為1則1+1 = 1,若X為0則0 + 0 =0,所以X + X = X。

定理(8) X + X’= 1

說明:OR的運算,在變數條件任何一者為1時結果為1 ,而X與X’總是相反的,亦即1 + 0 = 1或0 + 1 = 1,所以X + X’= 1。

布林代數除了以上的定理可以作為運算時的法則之外,在多變數的運算式中尚有一些定律可以運用。

 

3.3-2 基本定律

定律(1) 交換律:

a. X+Y = Y+X

b. X.Y = Y.X

定律(2) 結合律:

a. (X+Y)+Z=X+(Y+Z)

b. (X.Y).Z=X.(Y.Z)

定律(3) 分配律:

a. X.(Y+Z)=XY+XZ

b. X+(Y.Z)=(X+Y).(X+Z)

c. (W+X).(Y+Z)=WY+WZ+XY+XZ

定律(4) 吸收律:

a. X+XY=X

b. X+X’Y=X+Y

証明:X+XY=X

X+XY=X(1+Y)                                                         (分配律)

    =X.1                                                       (∵1+Y=1)

    =X

証明:X+X’Y=X+Y

X+X’Y=X (1+Y) +X’Y                                  ( ∵1+Y=1)

    =X+XY+X’Y                              (分配律)

    =X+ ( X+X’)Y                                        (分配律)

    =X+Y                                                        (∵X+X’=1)